Bayes’o teorema arba priežasčių tikimybė

Bayes’o teorema yra vienas iš tikimybių skaičiavimo ramsčių . Tai teorija, kurią XVIII amžiuje iškėlė Thomas Bayesas (1702–1761). Tačiau koks šio garsaus mokslininko tyrimų tikslas? Tikimybė atsitiktiniu procesu išreiškia palankių atvejų skaičiaus ir galimų atvejų skaičiaus santykį.

Buvo sukurta daug tikimybių teorijų, kurios šiandien valdo mūsų egzistavimą. Kai mes kreipiamės į gydytoją, jis išrašo vaistą, kuris greičiausiai bus naudingas mūsų atveju, kaip ir reklamuotojai skiria savo kampanijas žmonėms, kurie greičiausiai įsigys norimą reklamuoti produktą, arba turistams ir keliautojams, kurie pasirenka maršrutą, kuriame gali susidaryti mažiausia eilė.

Bendrosios tikimybės dėsnis yra vienas garsiausių, todėl prieš kalbėdami apie Bayeso teorema turėsime skirti kelias eilutes pirmajam paaiškinti. Norėdami tai suprasti, tiesiog pateikite pavyzdį .

Kokia tikimybė (P), kad šioje šalyje iš dirbančių gyventojų atsitiktinai pasirinktas asmuo bedarbiai ?

Pagal tikimybių teoriją duomenys būtų išreikšti taip:

• Tikimybė, kad asmuo yra moteris: P (M)
• Tikimybė, kad asmuo yra vyras: P (H)

Žinodami, kad 39% gyventojų sudaro moterys, darome išvadą, kad P (M) = 039.

Todėl aišku, kad: P (H) = 1 – 039 = 061. Pradžioje iškelta problema taip pat pateikia sąlygines tikimybes:

• Tikimybė, kad asmuo yra bedarbis, žinodamas, kad ji yra moteris -> P (P | M) = 022
• Tikimybė, kad asmuo yra bedarbis, žinodamas, kad jis yra vyras – P (P | H) = 014

Naudojant visuminės tikimybės dėsnis turėsime:

P (P) = P (M) P (P | M) P (H) P (P | H)

P (P) = 022 × 039 014 × 061

P (P) = 017

The . Pastebime, kad rezultatas yra pusiaukelėje tarp dviejų sąlyginių tikimybių (022<017 <014). Inoltre è più prossimo al valore degli uomini perché nella popolazione di questo paese immaginario sono la maggioranza.

Atraskime Bayeso teoremą

Dabar tarkime, kad suaugęs žmogus atsitiktinai pasirenkamas užpildyti anketą ir yra pastebėtas, kad jis neturi darbo. Kokia tikimybė šiuo atveju ir atsižvelgiant į ankstesnį pavyzdį, kad šis atsitiktinai pasirinktas asmuo yra moteris -P (M | P) -?

Norėdami išspręsti šią problemą, taikysime Bayeso teoremą kuris naudojamas įvykio tikimybei apskaičiuoti iš anksto turint informaciją apie jį . Įvykio A tikimybes galime apskaičiuoti žinodami, kad jis atitinka tam tikras charakteristikas (B).

Šiuo atveju kalbame apie tikimybę, kad anketai užpildyti atsitiktinai pasirinktas asmuo yra moteris. Bet tai

Bayes’o teoremos formulė

Kaip ir bet kuriai kitai teoremai, mums reikia formulės.

Atrodo sudėtinga, bet viskas turi paaiškinimą. Galvokime dalimis. Ką reiškia kiekviena raidė?

B yra įvykisapie kuriuos turime išankstinės informacijos.
• L raidė A (n) reiškia skirtingus sąlyginius įvykius.
• Skaitiklio dalyje turime sąlyginė tikimybė . Tai reiškia tikimybę, kad kažkas (įvykis A) įvyks žinant, kad taip pat įvyks kitas įvykis (B). Jis apibrėžiamas kaip P (A | B) ir išreiškiamas kaip: A tikimybė, kad bus suteikta B .
• Vardiklyje turime P (B) atitikmenį ir tą patį paaiškinimą, kaip ir ankstesniame punkte.

Pavyzdys

Grįžtant prie ankstesnio pavyzdžio tarkime, atsitiktinai pasirenkamas suaugęs žmogus užpildyti anketą ir pastebima, kad jis yra bedarbiai . Kokia tikimybė, kad šis pasirinktas asmuo bus moteris?

Žinome, kad 39 % aktyvių gyventojų sudaro moterys, o likusius sudaro moterys vyrų . Taip pat žinome, kad moterų bedarbių procentas yra 22 proc., o vyrų – 14 proc.

Galiausiai taip pat žinome, kad tikimybė, kad atsitiktinai pasirinktas asmuo yra bedarbis, yra 017. Jei pritaikysime Bayeso teoremos formulę, gausime rezultatą, kad yra tikimybė 05, kad asmuo atsitiktinai pasirinktas tarp bedarbių.

P (M | P) = (P (M) * P (P | M) / P (P)) = (022 * 039) / 017 = 05

Bayes’o teorema kyla iš sudėtinės ir absoliučios tikimybės teoremų jungties, kurią paaiškinome pradžioje. Pagrindinis jo bruožas yra tai, kad jis veikia visose tikimybės interpretacijose.

Kadangi jis gali būti naudojamas apskaičiuojant įvykį sukėlusios priežasties tikimybę jos svarba slypi tame, kaip ji istoriškai paveikė statistikos studijas . Šiandien iš tikrųjų yra žinomos dvi pagrindinės mokyklos (viena dažno, o kita Bajeso), kurios prieštarauja viena kitai, pradedant nuo šios teorijos interpretacijos.

Baigiame su smalsumu: ar žinojote, kad elektroninis šlamštas (tas iš Internetas pašto skelbimai) ar tai veikia Bayeso teoremos dėka?